МИ 2175-91 ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения. Оценивание погрешностей

2. ИСПОЛНИТЕЛИ:

к.ф.-м.н. Т.Н.Сирая (руководитель темы), к.т.н. А.Г.Чуновкина

3. УТВЕРЖДЕНА НПО “ВНИИМ им. Д.И.Менделеева" 29.03.91

4. ЗАРЕГИСТРИРОВАНА ВНИИМС: МИ 2175-91

Настоящая рекомендация устанавливает порядок построения градуировочных характеристик (ГХ) средств измерений (СИ) в табличном, графическом и аналитическом виде, выбор функционального вида ГХ и методов построения ГХ, способы оценивания погрешностей для линейных, полиномиальных и приводимых к линейным ГХ, а также способы оценивания погрешностей результатов измерений при использовании линейных ГХ.

Положения настоящей рекомендации могут быть использованы при разработке методик выполнения измерений (МВИ), методик поверки СИ, в которых предусмотрено построение ГХ СИ.

1.1. Под ГХ средства измерений (измерительного преобразователя или прибора) понимается функциональная зависимость между входной и выходной величинами

,

построенная на основе результатов измерений входных и соответствующих выходных величин в точках диапазона: .

1.2. ГХ может быть представлена:

• таблицей;

• графиком (построенным со сглаживанием или без сглаживания);

• формулой (в аналитическом виде).

1.3. Различаются индивидуальные ГХ, построенные для конкретных экземпляров СИ, и типовые ГХ, построенные для группы однотипных СИ.

1.4. Погрешность ГХ в точке определяется как разность между значением ГХ в точке и истинным значением величины в точке .

.

1.5. Могут оцениваться следующие характеристики погрешностей:

- границы (суммарной) погрешности ГХ в точке ;

- границы погрешности ГХ по всему диапазону изменения ;

и - СКО случайной и границы систематической составляющих погрешности ГХ в точке ;

и - границы случайной и систематической составляющих погрешности ГХ в точке .

Примечание. В необходимых случаях могут использоваться другие характеристики погрешности ГХ по МИ 1317-86*, которые должны быть указаны в МВИ.

________________

* На территории Российской Федерации документ не действует. Действует МИ 1317-2004. - Примечание изготовителя базы данных.

1.6. При задании доверительных границ случайной погрешности , а также границ и , если они получены статистическими методами, необходимо указывать доверительную вероятность . Обычно при массовых измерениях (если не оговаривается противное) рекомендуется принимать = 0,95. При измерениях высшей точности и эталонных измерениях рекомендуется использовать = 0,99. В обоснованных случаях в МВИ могут быть указаны и другие значения .

1.7. Если для погрешностей ГХ определены характеристики случайной и систематической составляющих и , то приближенные доверительные границы суммарной погрешности находят следующим образом:

• если , то принимают ;

• если , то принимают ;

  если , то вычисляют по формуле:

  ,

  
  где коэффициент принимают равным 0,8 при =0,95 и 0,85 при =0,99.

2.1. При построении ГХ в общем случае рекомендуется придерживаться следующей последовательности операций:

• получение исходных экспериментальных данных ;

• выбор способа представления и функционального вида ГХ;

• выбор метода построения ГХ;

• оценивание параметров ГХ и построение искомой ГХ;

• оценивание погрешностей ГХ;

• проверка адекватности построенной ГХ экспериментальным данным.

Примечание. При табличном или графическом способах представления ГХ этапы, связанные с оцениванием параметров ГХ, опускают.

2.2. Исходные данные для построения индивидуальных ГХ , могут быть получены из прямых или косвенных измерений. Обработка данных при этом выполняется в соответствии с ГОСТ 8.207-76 (при прямых измерениях с многократными наблюдениями), МИ 1552-86* (при прямых измерениях с однократными наблюдениями), МИ 2083-90 (при косвенных измерениях).

________________

* На территории Российской Федерации документ не действует. Действует Р 50.2.038-2004. - Примечание изготовителя базы данных.

2.3. Исходные данные для построения типовых ГХ могут быть либо исходными данными по п.2.2, полученными для группы однотипных СИ, либо построенными по указанным данным индивидуальными ГХ для отдельных СИ. В последнем случае порядок построения типовой ГХ может отличаться от излагаемого в данной рекомендации общего порядка по п.2.1 и должен быть установлен в конкретных МВИ.

2.4. При выполнении измерений входных и выходных величин могут быть случаи планируемого или непланируемого эксперимента.

2.5. Способ представления ГХ (табличный, графический или аналитический) определяется:

• возможностью аппроксимации ГХ функцией простого аналитического вида;

• требуемой точностью построения ГХ;

• способом использования построенной ГХ.

Способ представления ГХ устанавливается в конкретных МВИ.

2.6. Порядок построения ГХ зависит от способа ее представления.

2.7. В случае аналитического представления ГХ выбор ее функционального вида выполняют на основе:

• сведений о требуемом или возможном функциональном виде ГХ;

• физических соотношений, описывающих свойства СИ или явления, лежащие в основе их действия;

• результатов предыдущих исследований подобных СИ;

• результатов предварительного анализа полученных экспериментальных данных;

• требований к точности построения ГХ.

2.8. Сводная таблица основных методов построения ГХ (для перечисленных в разд.3 видов ГХ) в зависимости от имеющейся априорной информации приведена в разд.3.

Конкретные методы построения ГХ приведены:

• для линейных ГХ - в разд.5-7;

• для нелинейных ГХ, приводимых к линейным - в разд.8;

• для полиномиальных ГХ - в разд.9.

2.9. При выборе функционального вида ГХ по п.2.7, после построения ГХ необходимо проверить адекватность принятого вида ГХ экспериментальным данным. Простые критерии проверки адекватности приведены в приложении 1.

Если вид ГХ выбран неверно, то следует повторить процедуру выбора, учитывая дополнительную информацию и, возможно, привлекая дополнительные экспериментальные данные.

2.10. Общие принципы оценивания погрешностей построенных ГХ изложены в разд.4. Конкретные формулы для оценивания погрешностей приведены:

• для линейных ГХ - в разд.5-7;

• для нелинейных ГХ, приводимых к линейным - в разд.8;

• для полиномиальных ГХ - в разд.9.

3.1. При аналитическом представлении ГХ наиболее важными для практики являются три группы функциональных зависимостей:

• линейные ГХ;

• нелинейные ГХ вида ;

  приводимые к линейным путем замены переменных:

  ;

  нелинейные ГХ, являющиеся линейными комбинациями известных функций:

  ,

  
  где - известные функции, - определяемые коэффициенты.

3.2. Линейные ГХ в конкретных случаях могут быть представлены в виде:

1. 1) - линейная ГХ общего вида;

2. 2) - линейная ГХ, приведенная к средней точке ;

3. 3) - линейная ГХ, проходящая через начало координат.

Методы построения линейных ГХ приводятся в разд.5-7.

3.3. Основными видами нелинейных ГХ, приводимых к линейным путем преобразования переменных, являются степенные, показательные и дробно-линейные функции. Соответствующие преобразования переменных, а также правила выбора подходящей аппроксимации ГХ приведены в приложении 2.

Методы построения ГХ данного вида приведены в разд.8.

3.4. Основными видами нелинейных ГХ, представимых линейными комбинациями известных функций, являются:

1. 1) алгебраические полиномы степени :

   ,

   
   где обычно невелико ;

2. 2) разложения по ортогональным полиномам

   ,

   
   где - полином степени ; ортогональны относительно точек :

   при .

3. 3) тригонометрические полиномы

   .

Правила выбора степени алгебраического полинома приведены в приложении 3.

Методы построения ГХ производятся на основе следующих априорных данных (сведений):

• о функциональном виде ГХ (по п.3.1);

• о виде распределения случайных погрешностей измерений величин и , в частности, гауссовский или отличный от него;

• о характеристиках погрешностей измерений и , в частности, характеристики могут быть заданы априори или оценены по экспериментальным данным; постоянны или переменны по диапазону значений и , причем веса могут быть заданы априори или оценены;

  о значениях входных величин , в частности,

• известны точно (или погрешности пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями );

• известны с погрешностями, но имеется дополнительная информация об их дисперсиях.

Примечание. Проверка гипотезы о гауссовском распределении погрешностей производится согласно ГОСТ 8.207-76.

3.6. Если ГХ имеет линейный или полиномиальный вид и значения известны точно, то для построения ГХ используют:

1. 1) в случае гауссовских распределений погрешностей измерений - метод наименьших квадратов (МНК); формулы приведены в разд.5, 9;

2. 2) в случае отличных от гауссовских распределений погрешностей измерений - робастные методы (усеченный МНК или М-оценки Хубера); формулы приведены в разд.6.

3.7. Если ГХ является линейной и погрешности измерений существенны, то для построения ГХ используют:

1. 1) в случае гауссовского распределения погрешностей и планируемого эксперимента - МНК; особенности его применения в этом случае изложены в разд.8;

2. 2) в случае непланируемого эксперимента - один из конфлюентных методов. Выбор конкретного метода в зависимости от дополнительной информации и расчетные формулы приведены в разд.7

3. 3.8. Основные методы построения ГХ, приведенные в настоящей рекомендации, перечислены в табл.1. Выбор конкретного метода производится согласно табл.1 в зависимости от наличия априорной информации по п.3.5.

Примечания.

1. 1. Методы с номерами 1-5, 7, 9-12, 17 являются наиболее простыми и рекомендуются для широкого использования в метрологической практике (в том числе, метрологических служб).

2. 2. Методы с номерами 6, 8, 13-16, 18-20 рекомендуются для использования в научных исследованиях.

Таблица 1

Выбор методов построения градуировочных характеристик

4.1. При оценивании погрешностей ГХ используются характеристики погрешностей результатов измерений входных и выходных величин. При этом возможны два основных варианта:

• заданы границы погрешностей и ;

  заданы характеристики составляющих:

  • и - СКО случайных погрешностей;

  • и - границы систематических погрешностей.

В первом случае целесообразно оценивать границы суммарной погрешности ГХ в точке или общие границы по диапазону .

Во втором случае следует также оценивать характеристики составляющих погрешности ГХ , ; при необходимости границы суммарной погрешности ГХ находят согласно п.1.7.

4.2. Случайные погрешности измерений входных и выходных величин и предполагаются взаимно некоррелированными.

Примечание. Возможность коррелированных погрешностей должна быть отмечена в конкретных методиках.

4.3. При построении ГХ в виде таблицы или графика (без сглаживания) оценивают погрешности ГХ в точках .

4.4. При построении ГХ в виде функции принятого вида:

,

оценивание погрешностей ГХ выполняют на основе линеаризованного разложения согласно формулам, приведенным в приложении 4.

4.5. Если дополнительно известно, что погрешности исходных данных и или их систематические составляющие изменяются нерегулярным образом в заданных границах, то можно построить приближенные доверительные границы погрешности ГХ в точке или ее систематической составляющей. Формулы для вычисления указанных границ приведены в приложении 4.

5.1. Для построения линейной зависимости при точно известных значениях входных величин и гауссовских распределениях погрешностей измерений выходных величин используют МНК. При этом линейную ГХ представляют в виде

.

где - среднее (взвешенное) значений .

Относительно выполнения измерений выходных величин можно выделить три основных случая:

• равноточные однократные измерения;

• равноточные многократные измерения;

• неравноточные измерения с известными или оцениваемыми весами.

В случае равноточных многократных измерений оценки коэффициентов ГХ вычисляют по формулам:

где     

5.3. Если заданы границы погрешностей измерений , то границы погрешностей определения коэффициентов вычисляют по формулам (см. табл.2):

,

где .

Границу погрешности ГХ в точке вычисляют по формуле:

где .

     
Таблица 2

Характеристики погрешностей МНК-оценок

5.4. Если заданы характеристики составляющих погрешностей измерений , то характеристики погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

;

     
,

где .

5.5. Если известно, что погрешности измерений изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные доверительные границы погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

.

5.6. Если известно, что систематические погрешности измерений изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные доверительные границы систематических погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

,

где

.

5.7. Доверительные границы случайных погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

,

где - коэффициент Стьюдента, с числом степеней свободы , соответствующим используемой оценке СКО .

5.8. В случае равноточных измерений, однократных или одинаковой кратности вычисление коэффициентов ГХ и оценивание погрешностей ГХ выполняют аналогично пп.5.2-5.7, используя упрощенные формулы для коэффициентов и вспомогательных величин , которые приведены в табл.3. В случае однократных измерений используется оценка СКО (см. п.5.7), которой соответствует число степеней свободы .

5.8. В случае неравноточных измерений при вычислении коэффициентов и оценивании погрешностей ГХ используют веса отдельных результатов , которые определяют, исходя из оценок дисперсий случайных погрешностей выходных величин с учетом сведений о их систематических погрешностях.

Примечание. Если полученные веса различаются незначительно или не приводят к значительному снижению погрешностей ГХ, то для упрощения расчетов можно их не вводить, а использовать более простые формулы для случая равноточных измерений. Поэтому после введения весов следует оценить СКО погрешностей ГХ с учетом весов и без их учета. Критерии целесообразности введения весов должны быть установлены в конкретных методиках, исходя из требований к точности построения ГХ.

Таблица 3

Оценки мнк и вспомогательные выражения для измерений равной кратности и однократных

5.10. Если при неравноточных измерениях

1) систематические погрешности результатов постоянны или пренебрежимо малы;

2) известна зависимость дисперсии случайных погрешностей от значений входной величины :

,

где - известная функция, то веса результатов принимают равными

.

Примечание. Если известно, что дисперсии относительных погрешностей измерений остаются постоянными по диапазону, то веса принимают равными

.

5.11. Если при условии 1) п.5.10 выполняют многократные наблюдения в точке , то для среднего значения , принимают вес , где - оценка дисперсии наблюдений .

5.12. Если при неравноточных многократных измерениях в точках исходные составляющие систематических погрешностей изменяются нерегулярным образом, в заданных границах и получены оценки в точках (согласно п.5.11), то для средних принимают веса

.

5.13. В случае неравноточных измерений оценки коэффициентов вычисляют по формулам:     

где - веса результатов .

5.14. Если веса определены согласно пп.5.10, 5.11, то оценки погрешностей коэффициентов и вычисляются по формулам, приведенным в табл.4.

5.15. Если веса определены с учетом систематических составляющих (согласно п.5.12), то доверительные границы суммарных погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

     
Таблица 4

Оценки МНК и их характеристики для неравноточных измерений

Примечания.

(к табл.4):

;

6.1. Если значения входных величин точно известны, а случайные погрешности измерений имеют распределения, близкие к гауссовским, но отличающиеся от строго гауссовских, либо могут содержать грубые погрешности, то для построения линейной ГХ вида рекомендуется использовать устойчивые методы, в частности, оценки Хубера или усеченные МНК-оценки.

6.2. При использовании устойчивых методов необходимо получить начальные приближения для коэффициентов ГХ, в качестве которых можно использовать:

МНК-оценки;

устойчивые оценки Вальда или Бартлетта.

6.3. Устойчивые оценки Хубера находят путем итераций. На -м шаге выполняют следующие операции

1) вычисляют отклонения данных от расчетной линии:

;

2) вычисляют оценку СКО как медиану отклонений:

;

3) определяют значения и :     

4) вычисляют суммы     

5) вычисляют приращения оценок     

6) вычисляют новые значения коэффициентов     

7) итерационный процесс заканчивают либо после выполнения заданного числа шагов , либо при выполнении правила останова:     

где - СКО начальных приближений, - задано.

6.4. Для нахождения усеченных МНК-оценок выполняют следующие операции:

1. 1) задают долю усечения = 0,05 или 0,1;

2. 2) вычисляют остатки     

   

3. 3) упорядочивают остатки:     

   

4. 4) исключают по наименьших и наибольших остатков, где - целая часть произведения ;

5. 5) по оставшимся экспериментальным данным вычисляют МНК-оценки коэффициентов (согласно формулам разд.5);

6. 6) погрешности построенной ГХ оценивают согласно общим правилам разд.5.

7.1. Для построения линейной ГХ в случае, когда погрешности измерений входных и выходных величин имеют примерно одинаковый порядок и гауссовские распределения, а эксперимент является планируемым, рекомендуется использовать MHK и вычислять оценки согласно расчетным формулам разд.5.

7.2. При оценивании погрешностей ГХ, построенных МНК, следует учитывать погрешности измерений как выходных, так и входных величин. В формулах разд.5 следует заменить:

границы и

                     ;

дисперсии .

7.3. При неравноточных измерениях веса отдельных результатов определяются с учетом погрешностей как измерений , так и измерений .

7.4. Если погрешности измерений входных и выходных величин имеют примерно одинаковый порядок, то в случае непланируемого эксперимента следует использовать методы конфлюентного анализа. При этом необходима дополнительная информация в одном из следующих вариантов:

1. 1) известна одна из дисперсий погрешностей, или , либо отношение дисперсий (либо оценки указанных параметров, полученные независимо от исходного набора данных);

2. 2) имеются результаты многократных наблюдений ;

3. 3) известен порядок возрастания исходных значений входных величин: ;

4. 4) известно разбиение значений на группы, независимое от погрешностей измерений.

7.5. Если известна одна из дисперсий погрешностей измерений, или их отношение, и погрешности имеют гауссовские распределения, то рекомендуется использовать модифицированные МНК-оценки, приведенные в табл.5. Соответствующие оценки коэффициента вычисляют по формуле:

.

7.6.1. Если известна одна из дисперсий погрешностей, то рекомендуется использовать оценки или , приведенные в табл.5.

7.6.2. Если известно отношение дисперсий , то рекомендуется использовать обобщенную оценку ортогональной регрессии .

7.7. Приближенные доверительные границы погрешностей коэффициента и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:

,

     
,

где - коэффициенты Стьюдента с числом степеней свободы .

7.8. При наличии многократных наблюдений в точках и гауссовских распределений погрешностей измерений рекомендуется использовать модифицированные МНК-оценки, получаемые при подстановке в них оценок дисперсий (см. табл.5), где     

     
.

7.9. Если известен порядок возрастания истинных значений входных величин или разбиение их на группы (независимое от их погрешностей), то рекомендуется использовать оценки, приведенные в табл.6.

Примечание. В табл.6 приведены смещения оценок и их вторые моменты. Смещения дробно-линейных оценок (в отличие от обычной МНК-оценки ) стремятся к 0 при увеличении числа точек .

Таблица 5

Модифицированные МНК-оценки

Примечания.

Таблица 6

Дробно-линейные оценки

7.10. Если значения расположены приближенно равномерно по диапазону, то рекомендуется использовать оценку Хаузнера-Бреннана с весами .

7.11. Если имеется разбиение точек на 2 или 3 группы равного объема, то рекомендуется использовать оценки Вальда или Бартлетта, вычисляемые согласно п.6.2.1, где и - суммы результатов измерений для первой группы, и - для второй или третьей группы. При вычислении оценки Бартлетта вторую группу (в случае разбиения на 3 группы) не учитывают, а используют для анализа точности приближения.

8.1. Если ГХ имеет вид , то она приводится к линейной ГХ путем преобразования переменных: . Тогда построение линейной ГХ выполняется по  преобразованному набору данных , согласно общим правилам построения линейных ГХ, изложенным в разд.5-7.

8.2 При выборе весов результатов измерений и оценивании погрешностей следует учитывать изменение характеристик погрешностей измерений при преобразовании переменных.

8.3. Если построена линейная ГХ , то при возвращении к исходным переменным и получается ГХ вида

или ,

где - функция, обратная преобразованию .

8.4. Наиболее распространенные на практике зависимости, приводимые к линейным, а также практические способы выбора соответствующих линеаризующих преобразований представлены в приложении 1.

9.1. Если ГХ является линейной комбинацией известных функций:

,

где - известные функции, - неизвестные коэффициенты, и если входные величины - точно известны, а распределения случайных погрешностей измерений гауссовские, то для построения ГХ рекомендуется использовать МНК. При неравноточных измерениях веса результатов определяются согласно правилам, изложенным в разд.6.

9.2. МНК-оценки коэффициентов ГХ определяются путем решения системы линейных уравнений

,

где .

В матричном виде МНК-оценки могут быть представлены как

,

где - матрица коэффициентов системы, - вектор оценок, - вектор правых частей системы.

9.3. Корреляционная матрица вектора оценок оценивается по формуле

,

где - оценка дисперсии погрешностей измерений , вычисляемая по формуле

.

9.4. Если ГХ является алгебраическим полиномом степени , то рекомендуется перейти к разложению по ортогональным полиномам Чебышева

,

где - полиномы степеней , ортогональные относительно :

при .

9.5. Коэффициенты в разложении по ортогональным полиномам Чебышева вычисляют по формуле

.

9.6. При равноточных измерениях в случае планируемого эксперимента рекомендуется выбирать значения симметрично относительно их среднего и перейти к переменной :

.

9.7. При равноотстоящих значениях , когда , рекомендуется перейти к нормированной переменной . Тогда ортогональные полиномы младших степеней определяются по формулам:     

а последующие определяются по рекуррентной формуле

.

9.8. Правильность выбора степени полинома проверяют согласно изложенному в приложениях 2, 3.     

10.1. Построенная по экспериментальным данным ГХ на практике используется для оценивания значений входной величины по результатам измерений выходных величин

.

При этом обратная ГХ может быть представлена в аналитическом, графическом или табличном виде.

10.2. Погрешность полученного значения входной величины определяется как погрешностью измерения выходной величины, так и погрешностью построения ГХ.

10.3. При использовании линейной ГХ значения входной величины находят по формуле

.

1. Проверяется гипотеза, что ГХ выбранного функционального вида , построенная по результатам измерений в точках , удовлетворительно согласуется с этими данными. Принимают уровень значимости = 0,05.

2. В критерии знаков подсчитывают число положительных остатков и проверяют условие

,

где критическое значение находят при < 50 по табл.1, а при > 50 вычисляют по формуле

.

Если число удовлетворяет этому условию, то гипотеза о согласии построенной ГХ с экспериментальными данными принимается.

Таблица 1

Критические значения для критерия знаков (при уровне значимости =0,05)

3. В критерии серий используется статистика , равная общему числу серий в последовательности остатков (серией называется часть последовательности, содержащая члены одного знака). Гипотеза о согласии ГХ с данными принимается, если выполнено условие

.

4. Если при точно заданных (или контролируемых) входных величинах выполняют многократные измерения выходных величин , и погрешности имеют приближенно гауссовские распределения, то для проверки согласия ГХ с экспериментальными данными используют дисперсионное отношение

,

где - оценка дисперсии погрешностей по остаткам - оценка дисперсии по рассеянию данных внутри групп.

1. Рассматриваются нелинейные ГХ, которые приводятся к линейной функции путем замены переменных:

.

Наиболее распространенные на практике - степенные, показательные и дробно-линейные ГХ - перечислены в таблице, где приведены соответствующие преобразования переменных.

2. Для выбора между степенными и показательными функциями рекомендуется использовать графические правила.

3. Если данные можно графически аппроксимировать гладкой кривой, то используют метод выбора ГХ, основанный на двух ''опорных” точках.

1. При выборе степени полинома, аппроксимирующего ГХ, целесообразно использовать разложение по ортогональным полиномам Чебышева . Относительно экспериментальных данных предполагается:

• значения известны точно;

• значения содержат погрешности с приближенно гауссовским распределением и дисперсиями .

2. По данным последовательно строят приближения полиномами со степенями , используя МНК (разд.10):

,

где .

Примечание. Максимальную степень полинома выбирают, исходя из конкретной задачи; в большинстве случаев рекомендуется = 5.

3. Вычисляют остаточные суммы квадратов     

и оценки дисперсии , соответствующие различным степеням :

.

4. Степень полинома повышают до тех пор, пока оценки заметно убывают. Выбор степени полинома осуществляют в соответствии с требованиями к точности построения ГХ в конкретной методике, в частности, можно рекомендовать одно из следующих правил:

1. 1) принимают значение , при котором оценка минимальна, т.е. ;

2. 2) принимают значение , после которого оценка перестает заметно убывать, т.е. .

Если при всех степенях выбранное условие не достигнуто, то принимают максимальную степень полинома .

5. Для выбора степени полинома можно использовать также методы перекрестного выбора. При этом все данные разбивают на группы (конкретные способы разбиения могут быть различны и устанавливаются в методиках). Одна из групп является проверочной, а по медианным точкам остальных групп строится полином степени .

Согласие полинома с исходными данными оценивается по его отклонению от медианы проверочной выборки:

.

Описанную процедуру повторяют многократно, принимая последовательно каждую из групп за проверочную. В результате получают суммарный показатель адекватности полинома исходным данным:

.

В качестве искомой степени полинома принимают то значение , для которого показатель минимален.

1. При построении ГХ в виде функции принятого вида     

погрешности полученной ГХ оценивают на основе линеаризованного разложения

,

где коэффициенты

,

- оценки параметров ГХ по данным ; все производные вычисляются в точке .

2. Если заданы и - границы погрешностей измерений величин , то границы погрешностей ГХ в точке оценивают по формуле

.

3. Если заданы характеристики случайных и систематических составляющих погрешностей измерений величин , то характеристики погрешности ГХ в точке оценивают по формулам:     

4. Если известно, что погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то можно построить приближенные доверительные границы погрешности ГХ в точке

,

где .

5. Если систематические погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные границы систематической погрешности ГХ в точке вычисляют по формуле

,

где .

6. Если систематические погрешности исходных данных остаются примерно постоянными для всех точек диапазона, то границы систематической погрешности ГХ в точке оценивают по формуле

.

7. Частные случаи приведенных выше общих формул применительно к конкретным функциональным видам ГХ (линейным, полиномиальным и приводимым к линейным) приведены в разд.5-9.

1. Построение линейной ГХ общего вида

.

Поскольку входная величина в данном случае является контролируемой переменной (на входе устанавливались заранее заданные значения ), то для построения ГХ можно использовать метод наименьших квадратов. Вычисление оценок и приведено в табл.2 (округление результатов промежуточных вычислений, выполненных с помощью микрокалькулятора, проводилось поэтапно с удержанием лишних значащих цифр). Веса приняты равными .

Таблица 2

Вычисление оценок наименьших квадратов для линейной функции

Получены оценки коэффициентов

= 2,86424/2,86411 = 1,00004;

     
= 0,76443 - 1,00004·0,76440 = 0.

В итоге получена ГХ вида , где = 1,00004.

2. Если заранее известно: что ГХ имеет вид , то коэффициент оценивается по формуле

= 1,00004.

Получено то же значение коэффициента, что и выше.

3. Оценим погрешности полученных коэффициентов и расчетных значений ГХ. Из предварительных исследований известно, что в погрешностях исходных данных преобладают случайные составляющие, которые имеют гауссовские распределения. Тогда доверительные границы погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ вычисляют по формулам:     

     
.

Оценка СКО вычисляется по формуле

.

Вычисление необходимых сумм квадратов приведено в табл.3.

При доверительной вероятности = 0,95 и = 5 коэффициент Стьюдента (0,95) = 3,18. В итоге получено

.

     
Таблица 3

Отклонения экспериментальных данных от расчетных значений

4. В данном случае номинальной (желательной) ГХ является

.

Необходимо проверить, что построенная ГХ незначимо отклоняется от номинальной ГХ.

Поскольку построенная ГХ также имеет вид , то необходимо лишь проверить, что коэффициенты и различаются незначимо. Для этого проверяют условие

.

Поскольку в данном случае

,

то гипотеза о согласии построенной и номинальной ГХ принимается.