РМ4-188-81 Системы автоматизации технологических процессов. Измерение давления, расхода и уровня без ввода измеряемой среды в прибор

2.1. Общие положения

Заполненную измеряемой средой или разделительной жидкостью трубную проводку прибора следует рассматривать как систему с распределенными по ее длине параметрами (сопротивлением, инерционностью и т.п.). Динамика такой системы описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, составление и решение которых является трудной математической задачей. Поэтому динамику трубной проводки удобно моделировать приблизительно эквивалентной системой с сосредоточенными параметрами, учитывающими наиболее существенные в каждом конкретном случае свойства моделируемой проводки, такие, как сопротивление, инерционность и т.п. В данном случае динамическая модель системы, состоящей из трубной проводки и прибора, должна быть способной отображать колебательные процессы. Поэтому порядок модели (уравнения) должен быть не менее второго.

Принимая во внимание трудности решения уравнений более высоких порядков для ориентировочной оценки динамических свойств трубной проводки с прибором, в данном материале будут использованы линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Такая упрощенная модель приемлема только для сравнительно коротких трубных проводок. Поэтому изложенную в данном материале методику не следует применять при длине проводки более 10-15 метров.

2.2. Модели элементов трубной проводки

Трубные проводки приборов в данном случае представляют собой тупиковые (непроточные) линии, оканчивающиеся приборами, имеющими сравнительно небольшой объем чувствительного элемента. Поэтому для этих проводок характерны сравнительно небольшие скорости движения среды и, следовательно, в них, как правило, происходит ламинарное движение. Турбулентное движение возможно только в случае очень больших входных воздействий.

Определим сопротивление отрезка трубной проводки следующим выражением

,                                                                 (1)

где - сопротивление отрезка трубы, ;

- перепад давления на отрезке трубы, Па;

- объемный расход среды через отрезок, .

При ламинарном движении среды через трубу зависимость между объемным расходом и перепадом давления на трубе определяется формулой Пуазейля

,                                                            (2)

где: - перепад давления на отрезке трубы, Па;

- динамическая вязкость протекающей среды, Па·с;

- длина отрезка трубы, м;

- объемный расход, м/с;

3,1416;

- внутренний диаметр трубы, м.

Продифференцировав выражение (2) по , найдем искомое сопротивление отрезка трубы длиной

,                                                         (3)

где - ламинарное сопротивление отрезка трубы, ;

- динамическая вязкость протекающей среды, Па·с;

3,1416;

- длина отрезка трубы, м;

- внутренний диаметр трубы, м.

Определим инерционность жидкости в отрезке трубы следующим выражением

,                                                                  (4)

где - инерционность жидкости в отрезке трубы, ;

- перепад давления на отрезке трубы, Па;

- объемный расход жидкости через отрезок трубы, м/с;

- время, с.

Сила, необходимая для придания жидкости в трубе некоторого ускорения, равна массе жидкости в рассматриваемом отрезке трубы, умноженной на ускорение. Указанное справедливо для сравнительно коротких отрезков трубы.

,                                                                  (5)

где - сила, Н;

- масса жидкости в отрезке трубы, кг;

- скорость жидкости, м/с.

Сила определится следующим выражением

,                                                                 (6)

где - сила, Н;

- площадь прохода трубы, м;

- перепад давления на отрезке трубы, Па.

Масса жидкости в рассматриваемом участке трубы будет равна

,                                                                    (7)

где - масса жидкости, кг;

- плотность жидкости, ;

- площадь прохода трубы, м;

- длина отрезка трубы, м.

Подставив выражения (6) и (7) в (5), найдем

,                                                              (8)

Так как расход равен

,

то

.                                                                  (9)

Подставив выражение (9) в (8), найдем искомое выражение для инерционности жидкости в отрезке трубопровода

,                                                                   (10)

где - инерционность жидкости в отрезке трубы, ;

- плотность жидкости, ;

- длина отрезка трубы, м;

- площадь прохода трубы, м.

Определим емкость отрезка трубы с жесткими стенками, заполненного газом, следующим выражением

,                                          (11)

где - емкость отрезка трубы, ;

- объем газа в отрезке трубы, м;

- перепад давления на отрезке трубы, Па;

- расход газа, м/с.

Полагая изменение давления в трубе быстрым, так что можно пренебречь теплообменом с внешней средой, примем адиабатический закон изменения состояния газа в трубе

.                                                            (12)

Продифференцировав выражение (12), получим

,

откуда

.                                                              (13)

Сравнив выражения (11) и (13) и приняв во внимание, что

,

найдем искомое выражение для емкости отрезка трубы, заполненного газом

,                                                          (14)

где - емкость газа в отрезке трубы с жесткими стенками, ;

- объем газа в отрезке трубы, м;

- показатель адиабаты газа (величина безразмерная);

- среднее абсолютное давление в отрезке трубы, Па.

2.3. Модель прибора

На рис.1 показана расчетная схема - модель измерительного прибора. Прибор изображен в виде цилиндра, в котором упругий элемент представлен идеальным (без трения и массы) поршнем и противодействующей пружиной. Упругий элемент характеризуется эффективной площадью , ходом и жесткостью .

3.1. Уравнение системы

Уравнение системы второго порядка с постоянными коэффициентами удобно записать в следующем виде

,                                              (19)

где - зависимая переменная, например ход упругого элемента прибора;

- частота незатухающих колебаний;

- коэффициент затухания;

- возмущающее воздействие, например измеряемое давление;

- время.

Для оценки запаздывания системы в качестве возмущающего воздействия удобно принять ступенчатое воздействие (изменение измеряемой величины). Это воздействие можно записать следующим образом

,

где - коэффициент передачи системы;

- входная (измеряемая) величина;

- единичная ступенчатая функция.

Единичная ступенчатая функция определяется следующим образом:

1 при >0,

0 при <0.

В случае ступенчатого возмущающего воздействия уравнение (19) примет вид

.                                           (20)

Уравнение (20) описывает поведение системы при ступенчатом возмущающем воздействии, считая от установившегося состояния в момент 0.

При нулевых начальных условиях

и

вид искомой функции определится величиной коэффициента затухания , как это показано на графике справочного приложения 2.

При 0<<1 имеем колебательную систему. При 1 имеем критическое демпфирование, характеризуемое отсутствием выброса. При >1 имеем апериодическую систему.

3.2. Реакция системы на возмущающее воздействие

На графике справочного приложения 2 показаны реакции системы второго порядка на ступенчатое возмущающее воздействие или . По кривым этого графика можно, не решая уравнения (20), определить реакцию системы, для чего необходимо знать частоту незатухающих колебаний , коэффициент затухания и коэффициент передачи .

Быстроту реакции апериодических систем (>1) удобно сравнивать по времени реакции этих систем. Время реакции определяется как интервал времени, в течение которого система при входном воздействии в виде единичного скачка достигает некоторого, заранее принятого значения, например 0,95 от установившегося значения, равного 1 (время реакции с точностью до 5%). Время реакции минимально при 0,7.

4.1. Измерение давления через разделительную жидкость

Расчетная схема измерения давления газа через разделительную жидкость показана на рис.2. Распределенные по длине трубы инерционность и сопротивление условно показаны в виде сосредоточенной массы и дросселя. Измерительный прибор показан в виде цилиндра, в котором упругий элемент представлен идеальным (без трения и массы) поршнем и противодействующей пружиной. Упругий элемент прибора характеризуется эффективной площадью ходом и жесткостью .

Составим уравнения элементов расчетной схемы и найдем дифференциальное уравнение показанной на рис.2 системы.

4.2. Измерение давления без защиты прибора разделительной жидкостью

На рис.3 показана расчетная схема измерения давления газа без защиты прибора разделительной жидкостью. В данном случае трубная проводка и прибор заполнены измеряемым газом. Распределенное по длине трубы сопротивление условно показано в виде двух дросселей, имеющих сопротивление .

Емкость проводки показана в виде объема, имеющего емкость . Измерительный прибор показан в виде цилиндра, в котором упругий элемент представлен идеальным (без трения и массы) поршнем и противодействующей пружиной. Упругий элемент прибора характеризуется эффективной площадью , ходом и жесткостью .

Составим уравнения элементов расчетной схемы и найдем дифференциальное уравнение показанной на рис.3 системы.

5.1. Измерение перепада давления через разделительную жидкость

Расчетная схема измерения перепада давления газа через разделительную жидкость показана на рис.4. Распределенные по длине каждой линии инерционности , и сопротивления и условно показаны в виде сосредоточенных масс и дросселей. Измерительный прибор показан в виде цилиндра, в котором упругий элемент представлен идеальным (без трения и массы) поршнем и противодействующей пружиной.

5.2. Измерение перепада давления без защиты прибора разделительной жидкостью

На рис.5 показана расчетная схема измерения перепада давления газа без защиты прибора разделительной жидкостью. В данном случае обе трубные линии и прибор заполнены измеряемым газом. Распределенные по длине каждой линии сопротивления условно показаны в виде дросселей. Емкость плюсовой линии проводки показана в виде объема, имеющего емкость . Для упрощения уравнений емкость минусовой линии не учитывается. Измерительный прибор показан в виде цилиндра, в котором упругий элемент представлен идеальным (без трения и массы) поршнем и противодействующей пружиной. Упругий элемент прибора характеризуется эффективной площадью ходом и жесткостью .

6.1. Постановка задачи

На примере конкретного измерения давления газа (окиси углерода) посредством систем (проводок) с разделительной жидкостью (водой) и без нее оценить динамику этих систем путем сравнения времени реакций этих систем.

6.2. Данные для расчета

6.3. Расчет системы с разделительной жидкостью

Оценим сопротивление проводки

.

Определим площадь прохода трубы

.

Оценим инерционность проводки

.

Определим силу, развиваемую упругим элементом прибора при полном ходе

Н.

Определим жесткость упругого элемента

.

Оценим частоту незатухающих колебаний

.

Оценим коэффициент затухания (без учета эффекта демпфирующего устройства прибора)

.

С учетом эффекта демпфирующего капилляра прибора фактическая величина будет больше 0,016, но система все же будет колебательной. В том случае, когда эффект демпфирующего капилляра прибора будет недостаточен для получения 0,7-1,0, необходимую степень успокоения можно получить, уменьшив количество разделительной жидкости в системе, сократив длину той части проводки, которая заполнена разделительной жидкостью.

Определим время реакции с точностью до 5% при 1,0. Из графика справочного приложения 2 следует, что

5.

Из этого выражения найдем время реакции

с.

6.4. Расчет системы без разделительной жидкости

Оценим сопротивление проводки

.

Определим объем проводки

.

Оценим емкость проводки

.

Определим силу, развиваемую упругим элементом прибора при полном ходе,

Н.

Определим жесткость упругого элемента

.

Оценим частоту незатухающих колебаний

.

Оценим коэффициент затухания (без учета эффекта демпфирующего устройства прибора)

.

Так как даже без учета эффекта демпфирующего устройства коэффициент затухания , то данная система будет апериодической. Для этой системы не нужно демпфирующее устройство.

Определим время реакции с точностью до 5% при . Из графика справочного приложения 2 следует, что

.

Из этого выражения найдем время реакции

с.

6.5. Сравнение систем

Время реакции системы с разделительной жидкостью в данном случае равно 0,5 секунды, а для системы без защиты разделительной жидкостью оно равно 4,5·10 секунды. Разделив 0,5 на 4,5·10, получим, что система с разделительной жидкостью имеет приблизительно в 100 раз большее запаздывание. Кроме этого, система с разделительной жидкостью имеет очень малый коэффициент затухания и, следовательно, нуждается в дополнительном демпфировании, для чего может потребоваться уменьшение длины той части трубной проводки, которая заполнена разделительной жидкостью.

7.1. Постановка задачи

На примере конкретного измерения перепада давления газа (окиси углерода) посредством систем (проводок) с разделительной жидкостью (водой) и без нее оценить динамику этих систем путем сравнения времен реакций этих систем.

7.2. Данные для расчета

7.3. Расчет системы с разделительной жидкостью

Оценим сопротивление одной линии проводки

.

Оценим площадь прохода трубы

м.

Оценим инерционность одной линии проводки

.

Определим силу, развиваемую упругим элементом прибора при полном ходе

Н.

Определим жесткость упругого элемента

.

Оценим частоту незатухающих колебаний

.

Оценим коэффициент затухания (без учета эффекта демпфирующего устройства прибора)

.

С учетом эффекта демпфирующего устройства прибора фактическая величина будет больше 0,023, но система будет все же колебательной. В том случае, когда эффект демпфирующего устройства прибора будет недостаточен для получения 0,71,0, необходимую степень успокоения можно получить, уменьшив количество разделительной жидкости в системе, сократив длину этой части проводки, которая заполнена разделительной жидкостью.

Определим время реакции с точностью до 5% при 1,0. Из графика справочного приложения 2 следует, что

.

Из этого выражения найдем время реакции

с.

7.4. Расчет системы без разделительной жидкости

Оценим сопротивление одной линии проводки

.

Определим объем одной линии проводки

м.

Оценим емкость проводки

.

Определим силу, развиваемую упругим элементом прибора при полном ходе

Н.

Определим жесткость упругого элемента

.

Оценим частоту незатухающих колебаний

.

Оценим коэффициент затухания (без учета эффекта демпфирующего устройства прибора).

.

Так как даже без учета эффекта демпфирующего устройства коэффициент затухания , то данная система будет апериодической. В данном случае демпфирующее устройство не нужно.

Определим время реакции с точностью до 5% при . Из графика справочного приложения 2 следует, что

.

Из этого выражения найдем время реакции

с.

7.5. Сравнение систем

Время реакции системы с разделительной жидкостью в данном случае равно 0,7 секунды, а для системы без защиты разделительной жидкостью оно равно 9,1·10 секунды. Разделив 0,7 на 9,1·10, получим, что система с разделительной жидкостью имеет приблизительно в 80 раз большее запаздывание. Кроме того, эта система имеет очень малый коэффициент затухания и, следовательно, нуждается в дополнительном демпфировании, для чего может потребоваться уменьшение длины той части трубной проводки, которая заполнена разделительной жидкостью.

1. Технические документы

РМ 4-23-72 Схемы трубных проводок для измерения давления, расхода и уровня. Правила построения, ГПИ "Проектмонтажавтоматика", 1973.

2. Литература

3. Benedict R.P. Fundamentals of temperature, pressure and flow measurements, Wiley, N.Y., 1977.

4. Buckley P.S. Techniques of process control, Wiley, N.Y., 1964.

5. Takahashi Y., Rabins J.J. and Auslander D.M. Control, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1970.